Question

【題目】已知橢圓 的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，直線AF與直線 垂直，垂足為B，且點(diǎn)A是線段BF的中點(diǎn).

（I）求橢圓C的方程；

（II）若M，N分別為橢圓C的左，右頂點(diǎn)，P是橢圓C上位于第一象限的一點(diǎn)，直線MP與直線 交于點(diǎn)Q，且,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（I）．

（II）

【解析】

（I）寫出坐標(biāo)，利用直線與直線垂直，得到.求出點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得到的一個(gè)關(guān)系式，由此求得和的值，進(jìn)而求得橢圓方程.（II）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由此寫出直線的方程，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入，化簡(jiǎn)可求得點(diǎn)的坐標(biāo).

（I）∵橢圓的左焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)，直線AF與直線垂直

∴直線AF的斜率，即 ①

又點(diǎn)A是線段BF的中點(diǎn)

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

又點(diǎn)在直線上

∴ ②

∴由①②得：

∴

∴橢圓的方程為．

（II）設(shè)

由（I）易得頂點(diǎn)M、N的坐標(biāo)為

∴直線MP的方程是：

由 得：

又點(diǎn)P在橢圓上，故

∴

∴

∴或（舍）

∴

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為