Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（ax²+x+1）．
（Ⅰ）設(shè)a＞0，討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)a=-1，證明：對?x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x），然后討論a與0的大小關(guān)系，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f'（x）＞0和f'（x）＜0，即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）當(dāng)a=-1時，由（Ⅰ）f'（x）=-e^x（x+2）（x-1），從而得出f（x）在[0，1]上單調(diào)增加；欲證對?x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2，只須證明f（x）在[0，1]上的最大值與最小值的差小于2即可．
解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=e^x（ax²+x+1+2ax+1）=e^x（x+2）（x+1）．  （3分）
令f'（x）＞0，得（x+2）（x+1）＞0，注意到a＞0，
∴當(dāng)a∈（0，）時，f（x）在（-∞，-）上是增函數(shù)，在（-，-2）上是減函數(shù)，在（-2，+∞）上遞增；
當(dāng)a=時，f（x）在（-∞，+∞）上遞增；
當(dāng)a∈（，+∞）時，f（x）在（-∞，-2）上遞增，
在（-2，-）上遞減，在（-，+∞）上遞增．           （8分）
（Ⅱ）∵a=-1，由（Ⅰ）f'（x）=-e^x（x+2）（x-1），
∴f（x）在[0，1]上單調(diào)增加，
故f（x）在[0，1]上的最大值為f（1）=e，最小值為f（0）=1．
從而對?x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2．     （12分）
點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力．