Question

4．已知函數(shù)f（x）=2cos（ωx-$\frac{π}{6}$）與函數(shù)g（x）=3sin（2x+φ）（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）圖象的對稱中心完全相同，則函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸是（　�。�

• A． x=$\frac{3}{4}$
• B． x=$\frac{π}{2}$
• C． x=$\frac{π}{4}$
• D． x=$\frac{π}{12}$

Answer 1

分析 依題意，可知函數(shù)f（x）=2cos（ωx-$\frac{π}{6}$）與函數(shù)g（x）=3sin（2x+φ）的周期相同，從而可得ω=±2；再由0＜φ＜$\frac{π}{2}$進一步確定ω=2，即可求得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=2cos（ωx-$\frac{π}{6}$）與函數(shù)g（x）=3sin（2x+φ）（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）圖象的對稱中心完全相同，
∴兩函數(shù)的周期相同，
∵g（x）=3sin（2x+φ）的周期T₁=$\frac{2π}{2}$=π，
∴f（x）=2cos（ωx-$\frac{π}{6}$）的周期T₂=$\frac{2π}{\left|ω\right|}$=π，
∴ω=±2．
若ω=2，則f（x）=2cos（2x-$\frac{π}{6}$）=2cos（$\frac{π}{6}$-2x）=2sin[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{6}$-2x）]=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），即φ=$\frac{π}{3}$∈（0，$\frac{π}{2}$），滿足題意；
若ω=-2，則f（x）=2cos（-2x-$\frac{π}{6}$）=2sin[$\frac{π}{2}$-（-$\frac{π}{6}$-2x）]=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$），即φ=$\frac{2π}{3}$∉（0，$\frac{π}{2}$），不滿足題意；
∴f（x）=2cos（2x-$\frac{π}{6}$），
由2x-$\frac{π}{6}$=kπ（k∈Z），得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$（k∈Z），
當k=0時，x=$\frac{π}{12}$就是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸方程，
故選：D．

點評 本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，確定出兩函數(shù)的周期相同是突破口，也是關(guān)鍵點，確定ω=2是難點，想當然地認為ω=2，是思維不成熟的表現(xiàn)，考查深刻理解題意與綜合應(yīng)用能力，屬于難題．