Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=1+λa_n，其中λ≠0．
（1）證明{a_n}是等比數(shù)列，并求其通項公式；
（2）若S₅=$\frac{31}{32}$，求λ．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列通項公式與前n項和公式之間的關(guān)系進(jìn)行遞推，結(jié)合等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明求解即可．
（2）根據(jù)條件建立方程關(guān)系進(jìn)行求解就可．

解答 解：（1）∵S_n=1+λa_n，λ≠0．
∴a_n≠0．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=1+λa_n-1-λa_n-1=λa_n-λa_n-1，
即（λ-1）a_n=λa_n-1，
∵λ≠0，a_n≠0．∴λ-1≠0．即λ≠1，
即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{λ}{λ-1}$，（n≥2），
∴{a_n}是等比數(shù)列，公比q=$\frac{λ}{λ-1}$，
當(dāng)n=1時，S₁=1+λa₁=a₁，
即a₁=$\frac{1}{1-λ}$，
∴a_n=$\frac{1}{1-λ}$•（$\frac{λ}{λ-1}$）^n-1．
（2）若S₅=$\frac{31}{32}$，
則若S₅=1+λ[$\frac{1}{1-λ}$•（$\frac{λ}{λ-1}$）⁴]=$\frac{31}{32}$，
即（$\frac{λ}{1-λ}$）⁵=$\frac{31}{32}$-1=-$\frac{1}{32}$，
則$\frac{λ}{1-λ}$=-$\frac{1}{2}$，得λ=-1．

點評 本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1的關(guān)系進(jìn)行遞推是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．