14.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)證明{an}是等比數(shù)列,并求其通項公式;
(2)若S5=$\frac{31}{32}$,求λ.

分析 (1)根據數(shù)列通項公式與前n項和公式之間的關系進行遞推,結合等比數(shù)列的定義進行證明求解即可.
(2)根據條件建立方程關系進行求解就可.

解答 解:(1)∵Sn=1+λan,λ≠0.
∴an≠0.
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=1+λan-1-λan-1=λan-λan-1
即(λ-1)an=λan-1,
∵λ≠0,an≠0.∴λ-1≠0.即λ≠1,
即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{λ}{λ-1}$,(n≥2),
∴{an}是等比數(shù)列,公比q=$\frac{λ}{λ-1}$,
當n=1時,S1=1+λa1=a1
即a1=$\frac{1}{1-λ}$,
∴an=$\frac{1}{1-λ}$•($\frac{λ}{λ-1}$)n-1
(2)若S5=$\frac{31}{32}$,
則若S5=1+λ[$\frac{1}{1-λ}$•($\frac{λ}{λ-1}$)4]=$\frac{31}{32}$,
即($\frac{λ}{1-λ}$)5=$\frac{31}{32}$-1=-$\frac{1}{32}$,
則$\frac{λ}{1-λ}$=-$\frac{1}{2}$,得λ=-1.

點評 本題主要考查數(shù)列遞推關系的應用,根據n≥2時,an=Sn-Sn-1的關系進行遞推是解決本題的關鍵.考查學生的運算和推理能力.

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