Question

3．已知離心率為$\frac{1}{2}$ 的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左頂點為A，右焦點為F，且|AF|=3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點F的直線交橢圓于B、C兩點，設直線AB和AC分別與直線x=4交于點M，N，問x軸上是否存在定點P使得MP⊥NP？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意a+c=3，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，求出a，b的值，即可求橢圓C的方程；
（2）設出BC所在直線方程x=ty+1，與橢圓方程聯立，把AB，AC的方程用含有A，B的坐標表示，再由MP⊥NP，利用數量積為0求解．

解答 解：（1）由題意可得，a+c=3，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，∴a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）依題意，直線BC的斜率不為0，設其方程為x=ty+1．
將其代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，整理得（4+3t²）y²+6ty-9=0．
設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=-$\frac{6t}{4+3{t}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{9}{4+3{t}^{2}}$．
直線AB的方程是y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$（x+2），從而可得M（4，$\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$），
同理可得N（4，$\frac{6{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$）．
假設x軸上存在定點P（p，0）使得MP⊥NP，則有$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=0．
∴$（p-4）^{2}+\frac{36{y}_{1}{y}_{2}}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$=0
將x₁=ty₁+1，x₂=ty₂+1代入上式，整理得（p-4）²-9=0，
解得p=1，或p=7．
∴x軸上存在定點P（1，0）或P（7，0），使得MP⊥NP成立．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查直線和圓錐曲線位置關系的應用，訓練了平面向量數量積在求解圓錐曲線問題中的應用，是中檔題．