Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=a²_n-na_n+1（n∈N⁺）
（1）當(dāng)a₁=2時(shí)，求a₂，a₃，a₄，并猜想a_n（不需要證明）
（2）當(dāng)a₁≥3時(shí)，判斷a_n與n+2的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明之．

Answer 1

分析 （1）通過a_n+1=a_n²-na_n+1、a₁=2代入計(jì)算即得結(jié)論；
（2）先證明n=1時(shí)不等式成立，再假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，進(jìn)而論證n=k+1時(shí)，不等式依然成立，最終得到不等式a_n≥n+2恒成立．

解答 解：（1）依題意，a₂=a₁²-a₁+1=2²-2+1=3，
a₃=a₂²-2a₂+1=3²-2×3+1=4，
a₄=a₃²-3a₃+1=4²-3×4+1=5，
猜想a_n=n+1，
（2）結(jié)論：a_n≥n+2的關(guān)系．
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁≥3=1+2，不等式成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)不等式成立，即a_k≥k+2，
那么a_k+1=a_k（a_k-k）+1
≥（k+2）（k+2-k）+1
=2k+5
≥k+3，
也就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1≥（k+1）+2；
由①、②可知：對(duì)于所有n≥1，有a_n≥n+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列歸納法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．