Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin$\frac{πx}{m}$．若存在x₀使$f（{x_0}）=±\sqrt{3}$且滿足x${\;}_{0}^{2}$+[f（x₀）]²＜m²，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-6）∪（6，+∞）
• B． （-∞，-4）∪（4，+∞）
• C． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 由$f（{x_0}）=±\sqrt{3}$，[f（x₀）]²=3，求導(dǎo)，令f′（x₀）=0，求得$\frac{{x}_{0}}{m}$=k+$\frac{1}{2}$，即可求得丨x₀丨≥丨$\frac{m}{2}$丨，即x${\;}_{0}^{2}$+[f（x₀）]²≥$\frac{{m}^{2}}{4}$+3，由x${\;}_{0}^{2}$+[f（x₀）]²＜m²，求得m²＞$\frac{{m}^{2}}{4}$+3，求得m的取值范圍．

解答 解：由題意知：$f（{x_0}）=±\sqrt{3}$，
∴[f（x₀）]²=3，
∵f′（x₀）=$\frac{π}{m}$•$\sqrt{3}$cos$\frac{π{x}_{0}}{m}$=0，
∴$\frac{π{x}_{0}}{m}$=kπ+$\frac{π}{2}$，（k∈Z），
∴$\frac{{x}_{0}}{m}$=k+$\frac{1}{2}$，（k∈Z），即丨$\frac{{x}_{0}}{m}$丨=丨k+$\frac{1}{2}$丨≥$\frac{1}{2}$，
∴丨x₀丨≥丨$\frac{m}{2}$丨，即x${\;}_{0}^{2}$+[f（x₀）]²≥$\frac{{m}^{2}}{4}$+3，
而已知x${\;}_{0}^{2}$+[f（x₀）]²＜m²，
∴m²＞$\frac{{m}^{2}}{4}$+3，
故$\frac{3{m}^{2}}{4}$＞3，解得m＞2或m＜-2，
故答案選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，不等式的解法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．