Question

10．已知定義域為R的函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y滿足：$\frac{f（x）+f（y）}{2}=f（\frac{x+y}{2}）cos\frac{π（x-y）}{2}$，且$f（0）=f（1）=0，f（\frac{1}{2}）=1$，并且當(dāng)$x∈（0，\frac{1}{2}）時，f（x）＞0$．給出如下結(jié)論：
①函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
②函數(shù)f（x）在$（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$上單調(diào)遞增；
③函數(shù)f（x）是以2為周期的周期函數(shù)；
④$f（-\frac{5}{2}）=0$
其中正確的結(jié)論是（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①④
• D． ③④

Answer 1

分析 利用賦值法，對4個選項分別進行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：令y=-x，可得$\frac{f（x）+f（-x）}{2}$=f（0）cosxπ=0，∴f（-x）=-f（x），函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，故①不正確；
設(shè)$\frac{1}{2}$＞x₁＞x₂＞-$\frac{1}{2}$，則∵當(dāng)$x∈（0，\frac{1}{2}）時，f（x）＞0$，∴$\frac{f（{x}_{1}）+f（-{x}_{2}）}{2}$=f（$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{2}$）cos$\frac{π（{x}_{1}+{x}_{2}）}{2}$＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），∴函數(shù)f（x）在$（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$上單調(diào)遞增，故②正確；
令y=0，可得f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）cos$\frac{πx}{2}$，f（x+2）=2f（$\frac{x+2}{2}$）（-cos$\frac{πx}{2}$），可得f（x+2）=f（x），∴函數(shù)f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，故正確；
④f（-$\frac{5}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$）=-f（$\frac{1}{2}$）=-1，不正確．
故選B．

點評 本題考查通過給恒等式中的未知數(shù)賦定值求函數(shù)值、求函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．