Question

9．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{{x^3}+{x^2}+2x+1}}{{{x^2}+1}}$，x∈[-2015，2015]的最大值與最小值分別為A和B，則A+B=2．

Answer 1

分析 由$f（x）=\frac{{{x^3}+{x^2}+2x+1}}{{{x^2}+1}}$=$\frac{{x}^{3}+2x}{{x}^{2}+1}$+1，構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{{x}^{3}+2x}{{x}^{2}+1}$，根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可求出答案．

解答 解：$f（x）=\frac{{{x^3}+{x^2}+2x+1}}{{{x^2}+1}}$=$\frac{{x}^{3}+2x}{{x}^{2}+1}$+1，
設(shè)g（x）=$\frac{{x}^{3}+2x}{{x}^{2}+1}$，
則g（-x）=-$\frac{{x}^{3}+2x}{{x}^{2}+1}$=-g（x），
∴g（x）為奇函數(shù)，
∵x∈[-2015，2015]，
∴g（x）_max+g（x）_min=0，
∴A=f（x）_max=g（x）_max+1，B=f（x）_min=g（x）_min+1，
∴A+B=2，
故答案為：2

點評 本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)的最值的關(guān)系，屬于中檔題．