【題目】已知定義域為[0,1]的函數(shù)f(x)同時滿足以下三個條件:
①對任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;
②f(1)=1;
③當x1,x2∈[0,1],且x1+x2∈[0,1]時,f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.稱這樣的函數(shù)為“友誼函數(shù)”.
請解答下列各題:
(1)已知f(x)為“友誼函數(shù)”,求f(0)的值;
(2)函數(shù)g(x)=2x-1在區(qū)間[0,1]上是否為“友誼函數(shù)”?請給出理由;
(3)已知f(x)為“友誼函數(shù)”,假定存在x0∈[0,1],使得f(x0)∈[0,1],且f[f(x0)]=x0,求證: f(x0)=x0.
【答案】(1)0;(2)是,理由詳見解析;(3)詳見解析.
【解析】
(1)令x1=1,x2=0,得到f(0) ≤ 0,得到答案.
(2)計算得到,故g(x1+x2) ≥ g(x1)+g(x2),g(1)=1,得到答案.
(3)取0≤ x1< x2 ≤1,則0< x2-x1≤1,得到f(x2) ≥ f(x1),假設f(x0) ≠ x0,計算得出矛盾,得到答案.
(1)令x1=1,x2=0,則x1+x2=1∈[0,1].
由③,得f(1) ≥ f(0)+f(1),即f(0) ≤ 0,
又由①,得f(0) ≥ 0,所以f(0)=0.
(2)g(x)=2x-1是友誼函數(shù).
任取x1,x2∈[0,1],x1+x2∈[0,1],有,則,故, 即g(x1+x2) ≥ g(x1)+g(x2).
又g(1)=1,故g(x)在[0,1]上為友誼函數(shù).
(3)取0≤ x1< x2 ≤1,則0< x2-x1≤1.因此f(x2) ≥ f(x1)+f(x2-x1) ≥ f(x1),
假設f(x0) ≠ x0,若f(x0) > x0,則f[f(x0)] ≥ f(x0) > x0;若f(x0) < x0,則f[f(x0)] ≤ f(x0) < x0.
都與題設矛盾,因此f(x0)=x0.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某商場舉行購物抽獎活動,抽獎箱中放有編號分別為的五個小球.小球除編號不同外,其余均相同.活動規(guī)則如下:從抽獎箱中隨機抽取一球,若抽到的小球編號為,則獲得獎金元;若抽到的小球編號為偶數(shù),則獲得獎金元;若抽到其余編號的小球,則不中獎.現(xiàn)某顧客依次有放回的抽獎兩次.
(1)求該顧客兩次抽獎后都沒有中獎的概率;
(2)求該顧客兩次抽獎后獲得獎金之和為元的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了調(diào)查甲、乙兩個網(wǎng)站受歡迎的程度,隨機選取了14天,統(tǒng)計上午8:00-10:00間各自的點擊量:
甲:73,24,58,72,64,38,66,70,20,41,55,67,8,25
乙:12,37,21,5,54,42,61,45,19,6,71,36,42,14
(1)請用莖葉圖表示上面的數(shù)據(jù).
(2)甲網(wǎng)站點擊量在[10,40]間的頻率是多少?
(3)甲、乙兩個網(wǎng)站哪個更受歡迎?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),曲線在點處的切線與軸平行.函數(shù).
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求證:函數(shù)共有兩個零點,一個零點是,另一個零點在區(qū)間內(nèi);
(Ⅲ)求證:存在,當時, .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(Ⅰ)當時,求的圖象在處的切線方程;
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個不同零點, ,且,求證: ,其中是的導函數(shù).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知向量 ,函數(shù) ,且圖象上一個最高點為與最近的一個最低點的坐標為 .
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式;
(Ⅱ)設為常數(shù),判斷方程在區(qū)間上的解的個數(shù);
(Ⅲ)在銳角中,若,求 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為,且橢圓經(jīng)過點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設過點的直線與橢圓交于、兩點,點是線段上的點,且,求點的軌跡方程.
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【題目】在以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立的極坐標系中,曲線的參數(shù)方程(為參數(shù)),曲線的極坐標方程:.
(1)求曲線和曲線的直角坐標方程;
(2)設曲線交軸于點(不是原點),過點的直線交曲線于A,B兩個不同的點,求的取值范圍.
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