Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|x|，x≤m\\{x^2}-2mx+4m，x＞m\end{array}$，其中m＞0，若對任意實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f（x）=b至多有兩個(gè)不同的根，則m的取值范圍是（0，3]．

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|x|，x≤m\\{x^2}-2mx+4m，x＞m\end{array}$的圖象，依題意，可得4m-m²≥m（m＞0），解之即可．

解答 解：當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|x|，x≤m\\{x^2}-2mx+4m，x＞m\end{array}$的圖象如下：
∵x＞m時(shí)，f（x）=x²-2mx+4m=（x-m）²+4m-m²＞4m-m²，
∴要使得關(guān)于x的方程f（x）=b至多有兩個(gè)不同的根，
必須4m-m²≥m（m＞0），
即m²≤3m（m＞0），
解得0＜m≤3，
∴m的取值范圍是：（0，3]，
故答案為：（0，3]．

點(diǎn)評 本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用是關(guān)鍵，分析得到4m-m²≥m（m＞0）是難點(diǎn)，屬于中檔題．