Question

在等腰直角△ABC中AC=BC，E為AC的中點，ED⊥AB于點D，將△ADE沿DE折起后為△A′DE使得面A′DE⊥面BCED．若F為線段A′B上一點及

A′F

A′B

=λ．
①當λ=

1

3

時，求證：FC∥面A′DE；
②當二面角∠B-DF-C的余弦值為值

3

7

，求λ的值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：①設等腰直角△ABC中，AC=BC=2，以D為原點，DB為x軸，DE為y軸，DA′為z軸，建立空間直角坐標系，由向量法求出

CF

=（0，-

2

，

2

3

）和平面A′DE的法向量

m

=（1，0，0），由此能證明CF∥平面A′DE．
②分別求出平面BDF的法向量和平面CDF的法向量，由此利用向量法能求出二面角∠B-DF-C的余弦值

3

7

時λ=

1

10

．

解答： ①證明：設等腰直角△ABC中，AC=BC=2，
則AB=

4+4

=2

2

，C到AB的距離d=

2

，DE=AD

2

2

，
如圖，以D為原點，DB為x軸，DE為y軸，
DA′為z軸，建立空間直角坐標系，
A′（0，0，

2

2

，B（

3 2

2

，0，0），設F（a，b，c），
∵

A′F

A′B

=λ，λ=

1

3

，∴

A′F

=

1

3

A′B

，
∴（a，b，c-

2

2

）=（

2

2

，0，-

2

6

），
∴a=

2

2

，b=0，c=

2

3

，∴F（

2

2

，0，

2

3

），
∵C（

2

2

，

2

，0），∴

CF

=（0，-

2

，

2

3

），
∵平面A′DE的法向量

m

=（1，0，0），
∴

m

•

CF

=0，又CF?平面A′DE，
∴CF∥平面A′DE．
②由已知得平面BDF的法向量

n

=（0，1，0），
D（0，0，0），C（

2

2

，

2

，0），A′（0，0，

2

2

，B（

3 2

2

，0，0），設F（a，b，c），

A′F

=（a，b，c-

2

2

），

A′B

=（

3 2

2

，0，-

2

2

），

DC

=（

2

2

，

2

，0），
∵

A′F

A′B

=λ，∴

A′F

=λ

A′B

，∴

a= 3 2 2 λ b=0 c- 2 2 =- 2 2 λ

，∴

DF

=（

3 2

2

λ，0，

2

2

-

2

2

λ），
設平面CDF的法向量

p

=（x₁，y₁，z₁），
則

p • DC = 2 2 x1+ 2 y1=0 p • DF = 3 2 2 λx1+( 2 2 - 2 2 λ)z1=0

，取x₁=2，得

p

=（2，-1，

6λ

λ-1

），
∵二面角∠B-DF-C的余弦值

3

7

，
∴|cos＜

n

，

p

＞|=|

-1

5+ 36λ2 (λ-1)2

|=

1

5+ 36λ2 (λ-1)2

=

3

7

，
由0≤λ≤1，解得λ=

1

10

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查滿足條件的實數(shù)值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．