Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=5，BC=4，AC=3，點(diǎn)D是線段PB的中點(diǎn)，平面PAC⊥平面ABC．
（1）在線段AB上是否存在點(diǎn)E，使得DE∥平面PAC？若存在，指出點(diǎn)E的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由；
（2）求證：PA⊥BC
（3）若PC=4，PA=5，求異面直線AD與BC所成的角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,異面直線及其所成的角

專題：平面向量及應(yīng)用,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取線段AB的中點(diǎn)E，連接DE，由中位線的性質(zhì)可得DE∥PA，又PA?平面PAC，DE?平面PAC，從而可證DE∥平面PAC．
（2）由勾股定理可證AC⊥BC，從而可得平面PAC⊥平面ABC，又平面PAC∩平面ABC=AC，BC?平面ABC，可證BC⊥平面PAC，即可證明PA⊥BC．
（3）以CA，CB，CP為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則可求

AD

，

CB

坐標(biāo)，利用向量的夾角公式即可得出異面直線AD與BC所成的角的余弦值．

解答： 解：（1）在線段AB上存在點(diǎn)E，使得DE∥平面PAC，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)．下面證明DE∥平面PAC：
取線段AB的中點(diǎn)E，連接DE，
∵點(diǎn)D是線段PB的中點(diǎn)，
∴DE是△PAB的中位線．
∴DE∥PA．
∵PA?平面PAC，DE?平面PAC，
∴DE∥平面PAC．
（2）證明：∵AB=5，BC=4，AC=3，
∴AB²=BC²+AC²．
∴AC⊥BC．
∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，BC?平面ABC，
∴BC⊥平面PAC．
∵PA?平面PAC，
∴PA⊥BC．
（3）以CA，CB，CP為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，4），D（0，2，2），
∴

AD

=(0，2，2)-(3，0，0)=(-3，2，2)，

CB

=(0，4，0)，
∴cos＜

AD

，

CB

＞=

(-3，2，2)•(0，4，0)

4 9+4+4

=

2 17

17

，
∴異面直線AD與BC所成的角的余弦值

2 17

17

．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，異面直線及其所成的角，向量的夾角公式的應(yīng)用，以CA，CB，CP為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系是題目（3）的解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．