Question

14．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，圓心為F₂且和雙曲線的漸近線相切的圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P．若∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)圓與漸近線相切得到圓的半徑，結(jié)合直角三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系以及雙曲線的定義建立方程進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F₂（c，0），雙曲線的一條漸近線為y=$±\frac{a}x$，取bx-ay=0，
則焦點(diǎn)到漸近線的距離d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=\frac{bc}{c}=b$，
∵圓心為F₂且和雙曲線的漸近線相切的圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P．
∴圓的半徑為b，
∵∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$，
∴PF₁⊥PF₁，
則PF₁-PF₂=2a，即PF₁=PF₂+2a=2a+b，
∵PF₁²+PF₂²=4c²，
∴（2a+b）²+b²=4c²，
即4a²+4ab+b²+b²=4c²，
即4ab+2b²=4c²-4a²=4b²，
即4ab=2b²，則b=2a，
則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}=\sqrt{5{a}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
則離心率e=$\sqrt{5}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系以及雙曲線的定義建立方程是解決本題的關(guān)鍵．