Question

1．統(tǒng)計表明某型號汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y（升）關于行駛速度x（千米/小時）的函數(shù)為y=$\frac{1}{128000}{x^3}-\frac{3}{80}$x+8（0＜x＜120）
（1）當x=64千米/小時時，行駛1000千米耗油量多少升？
（2）若油箱有22.5升油，則該型號汽車最多行駛多少千米？

Answer 1

分析 （1）由題意可得當x=64千米/小時，要行駛1000千米需要$\frac{1000}{64}$小時，代入函數(shù)y的解析式，即可得到所求值；
（2）設22.5升油能使該型號汽車行駛a千米，代入函數(shù)y的式子，可得$a=\frac{22.5}{{\frac{1}{128000}{x^2}+\frac{8}{x}-\frac{3}{80}}}$．
令$h（x）=\frac{1}{128000}{x^2}+\frac{8}{x}-\frac{3}{80}$，求出導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得h（x）的最小值，進而得到a的最大值．

解答 解：（1）當x=64千米/小時，要行駛1000千米需要$\frac{1000}{64}$小時，
要耗油$（\frac{1}{128000}×{64^3}-\frac{3}{80}×64+8）×\frac{1000}{64}=119.5$升；
（2）設22.5升油能使該型號汽車行駛a千米，
由題意得（$\frac{1}{128000}{x^3}-\frac{3}{80}$x+8）•$\frac{a}{x}$=22.5，
可得$a=\frac{22.5}{{\frac{1}{128000}{x^2}+\frac{8}{x}-\frac{3}{80}}}$．
令$h（x）=\frac{1}{128000}{x^2}+\frac{8}{x}-\frac{3}{80}$，
$h'（x）=\frac{1}{64000}x+\frac{8}{x^2}=\frac{{{x^3}-{{80}^3}}}{{64000{x^3}}}$，
令h'（x）=0⇒x=80，
當x∈（0，80）時，h'（x）＜0，h（x）為減函數(shù)；
當x∈（80，20）時，h'（x）＞0，h（x）為增函數(shù)．
即有當x=80時，h（x）取最小值，此時a取最大值200．
故若油箱有22.5升油，則最多可行駛200千米．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查化簡整理的運算能力，正確求出函數(shù)式和求得導數(shù)是解題的關鍵，屬于中檔題．