Question

5．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（-1，0），B（2，3），C（1，2$\sqrt{2}$），且定點(diǎn)P（1，1）．
（1）求△ABC的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過(guò)定點(diǎn)P的直線與△ABC的外接圓交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求弦EF中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）確定△ABC的外接圓圓心為（2，0），半徑r=2+1=3，即可求出△ABC外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)弦EF的中點(diǎn)為M，坐標(biāo)為（x，y），由垂徑定理的推論知MN⊥MP，即$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{MP}=0$，由此求弦EF中點(diǎn)的軌跡方程．

解答 解：（1）由題意得AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為$（0，\sqrt{2}）$，${k_{AC}}=\sqrt{2}$，
∴AC中垂線的斜率為$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，直線AC的中垂線的方程為y-$\sqrt{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），斜率為1，
∴直線AB的中垂線的方程為y-$\frac{3}{2}$=-（x-$\frac{1}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y-\frac{3}{2}=-（x-\frac{1}{2}）}\\{y-\sqrt{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=0\end{array}\right.$，
∴△ABC的外接圓圓心為（2，0），半徑r=2+1=3，
故△ABC外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）²+y²=9
（2）設(shè)弦EF的中點(diǎn)為M，坐標(biāo)為（x，y），△ABC外接圓的圓心N，則N（2，0）
由垂徑定理的推論知MN⊥MP，即$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{MP}=0$，
∴（x-2，y）•（x-1，y-1）=0，
故弦EF中點(diǎn)的軌跡方程為${（x-\frac{3}{2}）^2}+{（y-\frac{1}{2}）^2}=\frac{1}{2}$（在已知圓內(nèi)部）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，考查垂徑定理的推論，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．