如圖，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE，求DE與平面AEC所成夾角的正弦值．
考點：直線與平面所成的角
專題：空間角
分析：建立空間直角坐標系，找到平面AEC的法向量，根據(jù)線面所成角的定義可知，DE與平面AEC所成夾角的正弦值等于平面的法向量與向量
DE
的余弦值的絕對值，由此解之．
解答： 解：以線段AB的中點為原點O，OE所在直線為x軸，
AB所在直線為y軸，過點O平行于AD的直線為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
∵AE⊥平面BCE，BE?平面BCE，∴AE⊥BE，
在Rt△AEB中，AB=2，O為AB的中點，
∴OE=1，∴A（0，-1，0），E（1，0，0），C（0，1，2），D（0，-1，2），
∴
AE
=（1，1，0），
AC
=（0，2，2），
DE
=（1，1，-2），
設(shè)平面AEC的一個法向量為
n
=（x，y，z），
則
AE
•
n
=0
AC
•
n
=0
，∴
x+y=0
2y+2z=0
，
取x=1，得
n
=（1，-1，1），
∴
DE
•
n
=1-1-2=-2，
∴cos＜
DE
，
n
＞=
DE
•
n
|
DE
||
n
|
=
-2
6
3
=-
2
3
，
∴DE與平面AEC所成夾角的正弦值
2
3
．
點評：本題考查直線與平面所成角的正弦值求法，根據(jù)線面所成角與直線與平面的法向量所成角的互余或者相差90°，由此采用向量法將所求轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用，經(jīng)常考查，注意掌握．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c．若內(nèi)角A、B、C依次成等差數(shù)列，且a和c是-x2+6x-8=0的兩根，則S△ABC=（　�。�
A、4
3
B、3
3
C、2
3
D、
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知互相垂直的兩條直線y=kx和y=-
x
k
分別與雙曲線2x2-y2=1交于點A、B，點P在線段AB上，且滿足
OA
•
OP
=
OB
•
OP
，則所有的點P在（　�。�
A、雙曲線2x2-y2=1上
B、圓x2+y2=1上
C、橢圓上
D、|x|+|y|=1上

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列命題：
①數(shù)列{an}為遞減的等差數(shù)列且a1+a5=0，設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則當n=4時，Sn取得最大值；
②設(shè)函數(shù)f（x）=x2+bx+c，則x0滿足關(guān)于方程2x+b=0的充要條件是對任意x∈R均有f（x）≥f（x0）；
③在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，直線BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為
10
5
；
④定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（5+x）=f（-x）且(x-
5
2
)f/（x）＞0，已知x1＜x2，則f（x1）＞f（x2）是x1+x2＜5的充要條件．
其中正確命題的序號是
 
（把所有正確命題的序號都寫上）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，點（x，y）在四邊形ABCD內(nèi)部和邊界上運動，那么3x-y的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

將6名教師分到3所中學任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有
 
種不同的分法．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
x2-2，x∈(-∞，-2]∪[1，+∞)
-x，x∈(-2，1)
，則f[f（-
3
2
）]=（　�。�
A、
1
4
B、
3
2
C、-
31
16
D、-
3
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
lnx，x＞0
ex，x≤0
，如果a=f（
1
e
），則f（a）=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=x-
a
x
的定義域為（0，1]．
（1）若函數(shù)y=f（x）在定義域上是減函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）求函數(shù)y=f（x）在x∈（0，1]上的最值．并求出函數(shù)取最值時x的值．

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同步練習冊答案