Question

7．在直角坐標系xOy中，直線點參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1-tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.（t$為參數$α∈（0，\frac{π}{2}）$）以原點O為極點，x軸非負半軸為極軸建立坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ．
（1）若直線l與曲線C有且一個公共點M，求點M的直角坐標；
（2）若直線l與曲線C相交于A、B兩點，線段AB的中點橫坐標為$\frac{1}{2}$，求直線l的普通方程．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，代入可得C的直角坐標方程．把直線l的參數方程代入上式并整理得t²+6tcosα+5=0．令△=0，解出即可得出點M的直角坐標．
（2）設A，B兩點對應的參數分別為t₁，t₂，則t₁+t₂=-6cosα．利用中點坐標公式即可得出．

解答 解：（1）曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，代入可得C的直角坐標方程為：x²-4x+y²=0，即（x-2）²+y²=4．
把直線l的參數方程$\left\{\begin{array}{l}x=-1-tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.（t$為參數$α∈（0，\frac{π}{2}）$）代入上式并整理得t²+6tcosα+5=0．
令△=（6cosα）²-20=0，解得cosα=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，sinα=$\frac{2}{3}$，t=-$\sqrt{5}$．
∴點M的直角坐標為（$\frac{2}{3}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{3}$）．
（2）設A，B兩點對應的參數分別為t₁，t₂，則t₁+t₂=-6cosα．
線段AB的中點對應的參數為$\frac{1}{2}$（t₁+t₂）=-3cosα．
則-1+3cos²α=$\frac{1}{2}$，解得cosα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，α=$\frac{π}{4}$．
∴直線l的普通方程為x-y+1=0．

點評 本題考查了參數方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、中點坐標公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．