Question

【題目】已知，數(shù)列中的每一項(xiàng)均在集合中，且任意兩項(xiàng)不相等，又對(duì)于任意的整數(shù)，均有．例如時(shí)，數(shù)列為或．

（1）當(dāng)時(shí)，試求滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)；

（2）當(dāng)，求所有滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）．

【解析】

（1）分別假設(shè)，和，根據(jù)已知關(guān)系式可求得，從而得到結(jié)果；

（2）①當(dāng)時(shí)，可確定滿足條件的數(shù)列只有個(gè)；②當(dāng)時(shí)，可知以后的各項(xiàng)是唯一確定的，根據(jù)之前的滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)為可整理得到，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得，由此可確定結(jié)果.

（1）若，則，故，則；

若，則，，故，則；

若，則，或，；

當(dāng)時(shí)，滿足條件的數(shù)列為；；；；

故滿足條件的的個(gè)數(shù)為；

（2）設(shè)滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)為，顯然，，，

不等式中取，則有，即，

①當(dāng)時(shí)，則，同理，．．．，，滿足條件的數(shù)列只有個(gè)；

②當(dāng)，則，同理，．．．，，即以后的各項(xiàng)是唯一確定的，又之前的滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)為，

當(dāng)時(shí)，（*），

當(dāng)時(shí)，，代入（*）式得到，且滿足，

對(duì)任意，都有成立，又，；

綜上，滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)為．