Question

定義域在R上的函數(shù)f（x）=

x(1-x)，x＜0 0，x=0 x(1+x)，x＞0

，若y=f（x）+3在區(qū)間[a，b]上的最小值為m，在區(qū)間[-b，-a]上的最大值為M，則M+m等于

 

．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：可將函數(shù)化為f（x）=x（1+|x|）．運用定義判斷奇偶性，運用二次函數(shù)判斷單調(diào)性，再由單調(diào)性和奇偶性，即可得到M+m．

解答： 解：∵定義域在R上的函數(shù)f（x）=

x(1-x)，x＜0 0，x=0 x(1+x)，x＞0

，
∴f（x）=x（1+|x|）．
∵f（-x）=-x（1+|-x|）=-x（1+|x|）=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)，
∵x＞0，f（x）=x²+x是增函數(shù)，且f（x）連續(xù)，
∴f（x）在R上是增函數(shù)，
∵y=f（x）+3在區(qū)間[a，b]上的最小值為m，
∴f（a）+3=m，
∵y=f（x）+3在區(qū)間[-b，-a]上的最大值為M，
∴f（-a）+3=M，
∴M+m=f（a）+f（-a）+6=6．
故答案為：6．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性及運用，以及函數(shù)的最值，注意運用定義解決，屬于中檔題．