Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

5

3

，定點(diǎn)M（2，0），橢圓短軸的端點(diǎn)是B₁，B₂，且MB₁⊥MB₂．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)M且斜率不為0的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)．試問(wèn)x軸上是否存在異于M的定點(diǎn)P，使PM平分∠APB？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用離心率為

5

3

，可得

b

a

=

2

3

，由橢圓短軸的端點(diǎn)是B₁，B₂，且MB₁⊥MB₂，可得△MB₁B₂是等腰直角三角形，由此可求橢圓C的方程；
（2）設(shè)線AB的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合PM平分∠APB，則直線PA，PB的傾斜角互補(bǔ)，建立方程，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率為

5

3

，所以1-

b2

a2

=

5

9

，
所以

b

a

=

2

3

依題意△MB₁B₂是等腰直角三角形，從而b=2，故a=3，
所以橢圓C的方程是

x2

9

+

y2

4

=1；．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為x=my+2．
將直線AB的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，消去x得 （4m²+9）y²+16my-20=0．…（7分）
所以y₁+y₂=

-16m

4m2+9

．…（8分）
若PM平分∠APB，則直線PA，PB的傾斜角互補(bǔ)，所以k_PA+k_PB=0．…（9分）
設(shè)P（a，0），則有

y1

x1-a

+

y2

x2-a

=0．
將x₁=my₁+2，x₂=my₂+2代入上式，整理得

2my1y2+(2-a)(y1+y2)

(my1+2-a)(my2+2-a)

=0，
所以 2my₁y₂+（2-a）（y₁+y₂）=0．…（12分）
將y₁+y₂=

-16m

4m2+9

，y₁y₂=

-20

4m2+9

代入上式，整理得（-2a+9）•m=0．…（13分）
由于上式對(duì)任意實(shí)數(shù)m都成立，所以a=

9

2

．
綜上，存在定點(diǎn)P（

9

2

，0），使PM平分∠APB．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查存在性問(wèn)題的探究，屬于中檔題．