Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

（a∈R）
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若f（x）≤2x+1對(duì)于x∈[1，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）若g（x）=[f（x）-2a]x在[1，2]的最小值為4，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用f（x）+f（-x）=0，可證明f（x）=x+

a

x

（a∈R）為奇函數(shù)；
（2）根據(jù)f（x）≤2x+1對(duì)于x∈[1，+∞）恒成立，可得f（x）-（2x+1）≤0對(duì)于x∈[1，+∞）恒成立，列出不等式，求出a+

1

4

的取值范圍，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍即可；
（3）首先求出g（x）的解析式，然后根據(jù)g（x）=[f（x）-2a]x在[1，2]的最小值為4，分①a＜1時(shí)，②1≤a≤2時(shí)，③a＞2時(shí)三種情況討論，求出a的值即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
對(duì)于任意的x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
可得f（-x）=-x-

a

x

=-f（x），
所以f（x）為奇函數(shù)；
（2）根據(jù)f（x）≤2x+1對(duì)于x∈[1，+∞）恒成立，
可得f（x）-（2x+1）≤0對(duì)于x∈[1，+∞）恒成立，
所以f（x）-（2x+1）=x+

a

x

-（2x+1）=

a

x

-x-1=

-(x+ 1 2 )2+a+ 1 4

x

≤0對(duì)于x∈[1，+∞）恒成立，
所以-(x+

1

2

)2+a+

1

4

≤0對(duì)于x∈[1，+∞）恒成立，
即a+

1

4

≤(x+

1

2

)2對(duì)于x∈[1，+∞）恒成立；
由x∈[1，+∞），可得(x+

1

2

)2≥

9

4

，
所以a+

1

4

≤

9

4

，解得a≤2，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，+∞）；
（3）g（x）=[f（x）-2a]x=（x+

a

x

-2a）x=x²-2ax+a，
g（x）的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸x=a，
g（x）=[f（x）-2a]x在[1，2]的最小值為4，
①a＜1時(shí)，x=1時(shí)，g（x）_min=g（1）=1-a=4，
解得a=-3；
②1≤a≤2時(shí)，x=a時(shí)，g(x)min=g(a)=a-a2=4，
此時(shí)a無(wú)解；
③a＞2時(shí)，x=2時(shí)，g（x）_min=g（2）=4-3a=4，
解得a=0（舍去）
綜上，a=-3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)奇偶性質(zhì)的運(yùn)用，考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，以及分類(lèi)討論思想的運(yùn)用，屬于中檔題．