Question

設(shè)曲線C：f（x）=lnx-ax（a∈R），f′（x）表示f（x）導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）是否存在兩個(gè)零點(diǎn)m，n（m＜n），若存在，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）對(duì)于曲線C上的不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁＜x₂，求證：存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直線AB的斜率等于f′（x₀）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求f（x）的導(dǎo)數(shù)，再對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論，利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)值的正負(fù)情況研究原函數(shù)的極值；
（Ⅱ）假設(shè)函數(shù)f（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)m，n（m＜n），即lnx-ax=0有兩個(gè)實(shí)根，對(duì)a討論，由函數(shù)的單調(diào)性和極值的符號(hào)，即可判斷；
（Ⅲ）要證存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直線AB的斜率等于f′（x₀），只需證明存在點(diǎn)Q（x₀，f（x₀）），x₁＜x₀＜x₂，使得f′（x₀）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

．由f′（x）=

1

x

-a，即證存在x₀∈（x₁，x₂），使得

1

x0

-a=

lnx2-ax2-lnx1+ax1

x2-x1

，即x₀lnx₂-x₀lnx₁+x₁-x₂=0成立，即方程xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂=0在（x₁，x₂）內(nèi)有解．設(shè)F（x）=xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂，0＜x＜x₂．由零點(diǎn)存在定理和函數(shù)的單調(diào)性，即可得證．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=

1

x

-a，（x＞0），
當(dāng)a≤0，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
則函數(shù)f（x）沒有極值．
當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，得x=

1

a

．
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）與f（x）變化情況如下表：

x	（0， 1 a ）	1 a	（ 1 a ，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

當(dāng)x=

1

a

時(shí)，f（x）取得極大值f（

1

a

）=-1-lna．
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）沒有極值；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的極大值為-1-lna，沒有極小值．
（Ⅱ）假設(shè)函數(shù)f（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)m，n（m＜n），
即lnx-ax=0有兩個(gè)實(shí)根，
由（Ⅰ）可得，當(dāng)a≤0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，

1

a

）遞增，在（（

1

a

，+∞）遞減．
f（x）的極大值為-1-lna，沒有極小值．
當(dāng)-1-lna＞0，即0＜a＜

1

e

時(shí)，f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)a=

1

e

時(shí)，f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)a＞

1

e

時(shí)，f（x）沒有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上可得，f（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)a的范圍是（0，

1

e

）；
（Ⅲ）證明：曲線C上的不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁＜x₂，
要證存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直線AB的斜率等于f′（x₀），
只需證明存在點(diǎn)Q（x₀，f（x₀）），x₁＜x₀＜x₂，使得f′（x₀）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

．
由f′（x）=

1

x

-a，即證存在x₀∈（x₁，x₂），
使得

1

x0

-a=

lnx2-ax2-lnx1+ax1

x2-x1

，
即x₀lnx₂-x₀lnx₁+x₁-x₂=0成立，
以下證明方程xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂=0在（x₁，x₂）內(nèi)有解．
設(shè)F（x）=xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂，0＜x＜x₂．
則F（x₁）=x₁lnx₂-x₁lnx₁+x₁-x₂．
記g（x）=xlnx₂-xlnx+x-x₂，0＜x＜x₂，
∴g'（x）=lnx₂-lnx＞0，
∴g（x）在（0，x₂）內(nèi)是增函數(shù)，
∴F（x₁）=g（x₁）＜g（x₂）=0．
同理F（x₂）＞0．∴F（x₁）F（x₂）＜0．
∴方程xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂=0在（x₁，x₂）內(nèi)有解x=x₀．
又F（x）=（lnx₂-lnx₁）x+x₁-x₂在（x₁，x₂）內(nèi)是增函數(shù)，
∴方程xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂=0在（x₁，x₂）內(nèi)有唯一解．
綜上，存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直線AB的斜率等于f′（x₀）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值，同時(shí)考查函數(shù)的零點(diǎn)存在定理和函數(shù)方程的思想，運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)和單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．