Question

15．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₂=3，a₁+a₃+a₅=15．
（1）求a_n及S_n；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}-1}$（n∈N^*），設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，證明：T_n＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）{a_n}是等差數(shù)列，且a₂=3，a₁+a₃+a₅=15，求得，a₁=1，d=2，求得a_n及S_n，
（2）寫出b_n的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法求其前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$），即可證得T_n＜$\frac{1}{4}$．

解答 解：（1）{a_n}為等差數(shù)列，a₂=3，a₁+a₃+a₅=15，
即3a₂+3d=15，
∴d=2，a₁=1，
a_n=2n-1，
S_n=n²；
（2）證明：b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，
T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{1}{4}$；
∴T_n＜$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察等差數(shù)列求通項(xiàng)公式以及利用裂項(xiàng)法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于中檔題．