Question

10．已知f（x）=x³，g（x）=-x²+x-$\frac{2}{9}$a，若存在x₀∈[-1，$\frac{a}{3}$]（a＞0），使得f（x₀）＜g（x₀），則正數(shù)a的取值范圍是$（0，\frac{\sqrt{21}-3}{2}）$．

Answer 1

分析 令F（x）=f（x）-g（x）=x³+x²-x+$\frac{2}{9}$a，存在x₀∈[-1，$\frac{a}{3}$]（a＞0），使得f（x₀）＜g（x₀）?F（x）_min＜0，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：令F（x）=f（x）-g（x）=x³+x²-x+$\frac{2}{9}$a，
存在x₀∈[-1，$\frac{a}{3}$]（a＞0），使得f（x₀）＜g（x₀）?F（x）_min＜0，
F′（x）=3x²+2x-1=3（x-$\frac{1}{3}$）（x+1），
可知：當(dāng)0＜a≤1時(shí)，F(xiàn)′（x）≤0，函數(shù)F（x）單調(diào)遞減，∴x=$\frac{a}{3}$時(shí)，F(xiàn)（x）取得最小值，∴$F（\frac{a}{3}）$=$（\frac{a}{3}）^{3}$+$（\frac{a}{3}）^{2}$-$\frac{a}{3}$+$\frac{2}{9}a$＜0，解得：$0＜a＜\frac{\sqrt{21}-3}{2}$．
當(dāng)a＞1時(shí)，可知：當(dāng)x=$\frac{1}{3}$時(shí)，F(xiàn)（x）取得最小值，∴F（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{27}$+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{9}$a＜0，解得a∈∅．
綜上可得：正數(shù)a的取值范圍是$（0，\frac{\sqrt{21}-3}{2}）$．
故答案為：$（0，\frac{\sqrt{21}-3}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡易邏輯的判定方法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．