Question

14．在RT△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC=6，M、N是斜邊AB上的動點(diǎn)，MN=2$\sqrt{2}$，則$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的取值范圍為（　�。�

• A． [18，24]
• B． [16，24]
• C． （16，36）
• D． （24，36）

Answer 1

分析 通過建立直角坐標(biāo)系求出AB所在直線的方程，設(shè)出M，N的坐標(biāo)，將$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=2（b-2）²+16，0≤b≤4，求出范圍即可．

解答 解：RT△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC=6，M、N是斜邊AB上的動點(diǎn)，MN=2$\sqrt{2}$，
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA為x軸建立平面坐標(biāo)系，
則A（6，0），B（0，6），
∴AB所在直線的方程為：$\frac{x}{6}$+$\frac{y}{6}$=1，即y=6-x．
設(shè)N（a，6-a），M（b，6-b），且0≤a≤6，0≤b≤6，不妨設(shè)a＞b，
∵M(jìn)N=2$\sqrt{2}$，∴（a-b）²+（b-a）²=8，∴a-b=2，
∴a=b+2，∴0≤b≤4，
則$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$═（a，6-a）•（b，6-b）=2ab-6（a+b）+36
=2（b²-4b+12）=2（b-2）²+16，0≤b≤4，
∴當(dāng)b=0或b=4時(shí)有最大值24；當(dāng)b=2時(shí)有最小值16．
的取值范圍為[16，24]，
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，熟練掌握通過建立直角坐標(biāo)系、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．