Question

6．如圖所示，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，D分別在x軸，y軸正半軸（含坐標(biāo)原點(diǎn)）滑動(dòng)，其中AD=4，AB=2．
（1）若∠DAO=$\frac{π}{4}$，求|$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$|；
（2）求$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）$∠DAO=\frac{π}{4}$時(shí)，容易求出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，從而求出向量$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$的坐標(biāo)，進(jìn)而求出其長(zhǎng)度
（2）可設(shè)∠DAO=θ，并過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AO，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥OD，垂足分別為M，N，可以求出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，進(jìn)行向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=12sinθcosθ+12si{n}^{2}θ$，根據(jù)二倍角的正余弦公式，兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)得到$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=6\sqrt{2}sin（2θ-\frac{π}{4}）+6$，根據(jù)θ的范圍即可求出該數(shù)量積的最大值．

解答 解：（1）若$∠DAO=\frac{π}{4}$，則可得：$C（\sqrt{2}，3\sqrt{2}），D（0，2\sqrt{2}）$；
∴$|{\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}}|=|{（\sqrt{2}，5\sqrt{2}）}|=2\sqrt{13}$；
（2）如圖，

過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AO，垂足為M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥OD，垂足為N，設(shè)∠DAO=θ，
則∠CDN=θ，∠ABM=θ；z∴$2θ-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$z
∴點(diǎn)B（4cosθ+2sinθ，2sinθ），C（2sinθ，4sinθ+2cosθ）；
則$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=8sinθcosθ+4si{n}^{2}θ$+8sin²θ+4sinθcosθ
=12sinθcosθ+12sin²θ
=6sin2θ+6（1-cos2θ）
=$6\sqrt{2}sin（2θ-\frac{π}{4}）+6$；
∵$θ∈[0，\frac{π}{2}]$；
∴$（2θ-\frac{π}{4}）∈[-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$；
∴$2θ-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$時(shí)，$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$取最大值$6\sqrt{2}+6$．

點(diǎn)評(píng) 考查平面上點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得出向量坐標(biāo)，向量坐標(biāo)的加法和數(shù)量積運(yùn)算，根據(jù)向量坐標(biāo)能求向量長(zhǎng)度，以及二倍角的正余弦公式，兩角差的正弦公式，熟悉正弦函數(shù)的最值．