Question

4．已知x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1≤0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，若0≤ax+by≤2，則$\frac{b+2}{a+1}$的最大值是4．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識先求出a，b的范圍，然后利用斜率的幾何意義進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：若0≤ax+by≤2，恒成立，
則只需要A（1，0），B（0，1），（0，0）滿足不等式即可，
則$\left\{\begin{array}{l}{0≤a≤2}\\{0≤b≤2}\end{array}\right.$，$\frac{b+2}{a+1}$的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到（-1，-2）的斜率，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

則CF的斜率最大，此時C（0，2），
則$\frac{b+2}{a+1}$的最大值為$\frac{2+2}{0+1}=4$，
故答案為：4．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)換是解決本題的關(guān)鍵．