Question

5．已知點(diǎn)F（x，y）與兩定點(diǎn)M（-1，0），N（1，0）連線的斜率之積等于常數(shù)λ（λ≠0）．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）試根據(jù)λ的取值情況討論軌跡C的形狀．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)F（x，y）與兩定點(diǎn)M（-1，0），N（1，0）連線的斜率之積等于常數(shù)λ（λ≠0），建立方程，即可求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）根據(jù)λ的取值情況討論軌跡C的形狀．

解答 解．（1）由題意k_PM，k_PN存在且不為零，
由${k_{PM}}•{k_{PN}}=\frac{y}{x+1}•\frac{y}{x-1}=λ$，得${x^2}-\frac{y^2}{λ}=1（λ≠0，x≠±1）$
即為動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；                                         （6分）
（2）①當(dāng)λ＞0時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)．焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線（除去頂點(diǎn)）；
②當(dāng)-1＜λ＜0時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓（除去長(zhǎng)軸上的兩個(gè)端點(diǎn)）；
③當(dāng)λ=-1時(shí)，軌跡C為以原點(diǎn)為圓心1為半徑的圓（除去點(diǎn)（-1，0），（1，0））；
④當(dāng)λ＜-1時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)．焦點(diǎn)在y軸上的橢圓（除去短軸上的兩個(gè)端點(diǎn)）．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，確定軌跡方程是關(guān)鍵．