Question

【題目】已知函數(shù)（），是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)增區(qū)間；

（2）若對(duì)任意的，（），求的最大值；

（3）若的極大值為，求不等式的解集．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）求出并整理為，結(jié)合即可求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.

（2）對(duì)的取值分類，當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，即可利用（1）求得的增減性，并求得時(shí)，最小值為，可將轉(zhuǎn)化為，不妨設(shè)，則，利用導(dǎo)數(shù)即可求得最大值為，問題得解。

（3）當(dāng)時(shí)，無極大值，當(dāng)時(shí)，由的極大值為可求得，設(shè)，對(duì)范圍分類，利用可得：當(dāng)時(shí)，，結(jié)合即可得解。

（1）的定義域?yàn)?/span>．

因?yàn)?/span>，

令，因?yàn)?/span>，得， 因?yàn)?/span>，

所以的單調(diào)增區(qū)間是．

（2）當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，令，得或，

所以在區(qū)間和上單調(diào)遞減． 因?yàn)?/span>，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以在處取極小值，即最小值為．若，，則，即．

不妨設(shè)，則．

設(shè)（），則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以，即，

所以的最大值為．

（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，無極大值，

當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，

所以在處取極大值，所以，即．

設(shè)，即，

當(dāng)，，所以；

當(dāng)，，

由（2）知，，又，所以，且不恒為零，

所以在上單調(diào)遞增．不等式，即為，所以，

即不等式的解集為．