Question

14．已知△ABC中，頂點(diǎn)A（2，1），B（-1，-1），∠C的平分線所在直線的方程是x+2y-1=0．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求點(diǎn)A到直線BC的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)可得，點(diǎn)B（-1，-1）關(guān)于直線是x+2y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)D（m，n）在AC上，由垂直以及中點(diǎn)在對(duì)稱軸上求得D的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式求得AC所在的直線方程，再把AC以及∠C的平分線所在的直線方程聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)求得直線BC方程，然后由點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行解答．

解答 解：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)可得，點(diǎn)B（-1，-1）關(guān)于直線是x+2y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)D（m，n）在AC上，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n+1}{m+1}•（-\frac{1}{2}）=-1}\\{\frac{m-1}{2}+2×\frac{n-1}{2}-1=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{5}}\\{n=\frac{11}{5}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)D（$\frac{3}{5}$，$\frac{11}{5}$）．
由兩點(diǎn)式求得AC（即AD）邊所在的直線方程為$\frac{y-\frac{11}{5}}{1-\frac{11}{5}}$=$\frac{x-\frac{3}{5}}{2-\frac{3}{5}}$，
即6x+7y-19=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-1=0}\\{6x+7y-19=0}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{31}{5}}\\{y=-\frac{13}{5}}\end{array}\right.$，
可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（$\frac{31}{5}$，-$\frac{13}{5}$）．
（2）由B（-1，-1），C（$\frac{31}{5}$，-$\frac{13}{5}$）易得直線BC方程為：2x+9y+11=0．
則A（2，1）到直線BC的距離d=$\frac{|2×2+9×1+11|}{\sqrt{{2}^{2}+{9}^{2}}}$=$\frac{24\sqrt{85}}{85}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的方法，三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)，求兩條直線的交點(diǎn)，屬于中檔題．