Question

4．任取x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，則使 sinx+cosx∈[1，$\sqrt{2}$]的概率是（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 求出滿足sinx+cosx∈[1，$\sqrt{2}$]的區(qū)間寬度，代入幾何概型概率計算公式，可得答案．

解答 解：因為sinx+cosx=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx）
所以$sinx+cosx=\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）∈[{1，\sqrt{2}}]$，
所以$sin（x+\frac{π}{4}）∈[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}]$，
因為x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，所以x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{3π}{4}$]，
因為$sin（x+\frac{π}{4}）∈[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}]$，
所以$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，
所以$P=\frac{{\frac{π}{2}}}{{\frac{2π}{3}}}=\frac{3}{4}$．
故選：B．

點評 本題考查的知識點是幾何概型，計算出滿足sinx+cosx∈[1，$\sqrt{2}$]的區(qū)間寬度，是解答的關鍵．