Question

6．函數(shù)y=x+$\sqrt{2-x}$的值域?yàn)椋ā　。?table class="qanwser">A．$（\frac{9}{4}，+∞）$B．$[\frac{9}{4}，+∞）$C．$（-∞，\frac{9}{4}）$D．$（-∞，\frac{9}{4}]$

Answer 1

分析 利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解值域即可．

解答 解：由題意：函數(shù)y=x+$\sqrt{2-x}$，
令t=$\sqrt{2-x}$，則函數(shù)t的值域?yàn)閇0，+∞），可得：x=2-t²，
那么：函數(shù)y=x+$\sqrt{2-x}$轉(zhuǎn)化為f（t）=2-t²+t，
開口向下，對(duì)稱軸t=$\frac{1}{2}$，
∵t≥0，
∴當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（t）取得最大值為$f（\frac{1}{2}）_{max}$=$\frac{9}{4}$，
即函數(shù)y=x+$\sqrt{2-x}$的最大值為$\frac{9}{4}$．
∴函數(shù)y=x+$\sqrt{2-x}$的值域?yàn)椋?∞，$\frac{9}{4}$]．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)值域的求法．高中函數(shù)值域求法有：1、觀察法，2、配方法，3、反函數(shù)法，4、判別式法；5、換元法，6、數(shù)形結(jié)合法，7、不等式法，8、分離常數(shù)法，9、單調(diào)性法，10、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，11、最值法，12、構(gòu)造法，13、比例法．要根據(jù)題意選擇．