Question

10．在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥AB，DC=3，AB=2，AD=1，AE=EB，DF=1，現(xiàn)把它沿FE折起，得到如圖所示幾何體，連接DB，AB，DC，使DC=$\sqrt{5}$，
（1）求證：面DBC⊥面DFB；
（2）判斷是否在DC上存在一點H，使二面角E-BH-C的余弦值為-$\frac{{\sqrt{30}}}{6}$，若存在，確定點H的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）推導出DF⊥FC，DF⊥BC，BC⊥BF，從而BC⊥面BDF，由此能證明面DBC⊥面DFB．
（2）分別以EF，F(xiàn)C，F(xiàn)D為x，y，z軸建立，空間直角坐標系F-xyz，利用向量法能求出當H為CD的中點時，二面角E-BH-C的余弦值為-$\frac{{\sqrt{30}}}{6}$．

解答 證明：（1）∵$DF=1，F(xiàn)C=2，DC=\sqrt{5}$，
∴DF²+FC²=DC²，∴DF⊥FC，
又∵DF⊥EF，∴DF⊥面EBCF，DF⊥BC，
在直角△EBF中，BE²+EF²=1+1=BF²，
BC²=2，F(xiàn)C²=BF²+BC²，∴BC⊥BF，
∴BC⊥面BDF，
∵BC?平面BDC，∴面DBC⊥面DFB．
解：（2）分別以EF，F(xiàn)C，F(xiàn)D為x，y，z軸建立，空間直角坐標系F-xyz，
則E（1，0，0），D（0，0，1），B（1，1，0），C（0，2，0），
設$\overrightarrow{GH}=λ\overrightarrow{CD}（0≤λ≤1）$，H（x，y，z），
則（x，y-2，z）=λ（0，-2，1），（x，y-2，z）=λ（0，-2，1）
∴H（0，2-2λ，λ），$\overrightarrow{EH}=（-1，2-2λ，λ），\overrightarrow{BH}=（-1，1-2λ，λ），\overrightarrow{BC}=（-1，1，0）$，
設面EBH的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），面BHC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m•\overrightarrow{EH}=0}\\{\overrightarrow m•\overrightarrow{BH}=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{-{x_1}+（2-2λ）{y_1}+λ{z_1}=0}\\{-{x_1}+（1-2λ）{y_1}+λ{z_1}=0}\end{array}}\right.$，取z₁=1，得$\overrightarrow{m}$=（λ，0，1）．
$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{BH}=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{-{x_2}+{y_2}=0}\\{-{x_2}+（1-2λ）{y_2}+λ{z_2}=0}\end{array}}\right.$，取x₂=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
∵二面角E-BH-C的余弦值為-$\frac{{\sqrt{30}}}{6}$，∴$|{\frac{\overrightarrow n•\overrightarrow m}{{|{\overrightarrow n}||{\overrightarrow m}|}}}|=\frac{{\sqrt{30}}}{6}，|{\frac{λ+2}{{\sqrt{1+1+{2^2}}•\sqrt{{λ^2}+1}}}}|=\frac{{\sqrt{30}}}{6}$，
解得$λ=\frac{1}{2}$，
∴當H為CD的中點時，二面角E-BH-C的余弦值為-$\frac{{\sqrt{30}}}{6}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查滿足二面角的余弦值的點的位置的確定，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．