Question

7．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過左焦點(diǎn)F₁（-2，0）作x軸的垂線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，PF₂與y軸交于E（0，$\frac{3}{2}$），A，B是橢圓上位于PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的離心率e和標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）當(dāng)∠APQ=∠BPQ時(shí)，直線AB的斜率K_AB是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （I）把x=-2代入橢圓方程可得：$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，解得P$（-2，\frac{^{2}}{a}）$，直線PF₂的方程為：$y=-\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$．把點(diǎn)P代入直線方程與a²=b²+4，聯(lián)立解出即可得出．
（II）當(dāng)∠APQ=∠BPQ時(shí)，直線AB的斜率K_AB為定值-$\frac{1}{2}$，下面給出證明分析．由（I）可得：P（-2，3）．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．不妨設(shè)直線PA的方程為：y=k（x+2）+3．則直線PB的方程為：y=-k（x+2）+3．與橢圓方程聯(lián)立，化為：（3+4k²）x²+（16k²+24k）x+16k²+48k-12=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（I）把x=-2代入橢圓方程可得：$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，解得y=±$\frac{^{2}}{a}$．取P$（-2，\frac{^{2}}{a}）$，直線PF₂的方程為：$y=\frac{\frac{3}{2}}{-2}x+\frac{3}{2}$，即$y=-\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$．
把點(diǎn)P代入直線方程可得：$\frac{^{2}}{a}$=$-\frac{3}{4}$×（-2）+$\frac{3}{2}$，化為：b²=3a，又a²=b²+4，聯(lián)立解得a=4，b²=12．
∴$e=\frac{c}{a}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
（II）當(dāng)∠APQ=∠BPQ時(shí)，直線AB的斜率K_AB為定值-$\frac{1}{2}$，下面給出證明．
由（I）可得：P（-2，3）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．不妨設(shè)直線PA的方程為：y=k（x+2）+3．則直線PB的方程為：y=-k（x+2）+3．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）+3}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，化為：（3+4k²）x²+（16k²+24k）x+16k²+48k-12=0．
∴-2x₁=$\frac{16{k}^{2}+48k-12}{3+4{k}^{2}}$，解得x₁=$\frac{-8{k}^{2}-24k+6}{3+4{k}^{2}}$，y₁=$\frac{-12{k}^{2}+12k+9}{3+4{k}^{2}}$．
同理可得：x₂=$\frac{-8{k}^{2}+24k+6}{3+4{k}^{2}}$，y₂=$\frac{-12{k}^{2}-12k+9}{3+4{k}^{2}}$．
∴k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{-24k}{48k}$=-$\frac{1}{2}$，為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．