Question

19．已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知a=1，b=$\sqrt{2}$，f（A-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$，求角C．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二倍角公式及輔助角公式將f（x）化簡，求得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）f（A-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$，代入（1）求得sin2A=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由三角形的性質(zhì)a＜b，求得A，利用正弦定理求得sinB，分類討論B的取值，分別求得角C．

解答 解：（1）f（x）=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，得x∈[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]（k∈Z），
因此f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]（k∈Z）．…（6分）
（2）由f（A-$\frac{π}{6}$）=2sin[2（A-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin2A=$\sqrt{3}$，
又a＜b，所以A為銳角，則A=$\frac{π}{6}$．
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$⇒sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當B=$\frac{π}{4}$時，C=π-$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{12}$；
當B=$\frac{3π}{4}$時，C=π-$\frac{3π}{4}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{12}$．…（12分）

點評 本題考查三角恒等變換、正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)及正弦定理，考查特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．