Question

已知函數(shù)f（x）=4^x-2^x+1+1，函數(shù)g（x）=asin（

π

6

x）-2a+2（a＞0），若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、（0，

  1

  2

  ]
• B、[

  1

  2

  ，

  4

  3

  ]
• C、[

  2

  3

  ，

  4

  3

  ]
• D、[

  1

  2

  ，1]

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,正弦函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件確定函數(shù)f（x）的值域和g（x）的值域，進(jìn)而根據(jù)f（x₁）=g（x₂）成立，推斷出f（x）與g（x）的值域的交集不等于空集，即可得到結(jié)論．

解答： 解：f（x）=4^x-2^x+1+1=（2^x）²-2×2^x+1=（2^x-1）²，
∵x∈[0，1]，∴2^x∈[1，2]，
即0≤f（x）≤1，即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，1]，
∵a＞0，∴當(dāng)x∈[0，1]，

π

6

x∈[0，

π

6

]，
則sin

π

6

x∈[0，

1

2

]，
則2-2a≤g（x）≤2-

3a

2

，即函數(shù)g（x）的值域?yàn)閇2-2a，2-

3a

2

]，
若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
在[0，1]∩[2-2a，2-

3a

2

]≠∅，
若[0，1]∩[2-2a，2-

3a

2

a]=∅，則2-

3a

2

＜0或2-2a＞1，
∴0＜a＜

1

2

或a＞

4

3

，
∴當(dāng)[0，1]∩[2-2a，2-

3a

2

]≠∅時(shí)，a的取值范圍為[

1

2

，

4

3

]，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[

1

2

，

4

3

]，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程根的關(guān)系，根據(jù)條件求出函數(shù)的值域，結(jié)合集合關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．