Question

17．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1的一條漸近線過點（4，3），且雙曲線的一個焦點在拋物線y²=20x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$．

Answer 1

分析 求出拋物線的準(zhǔn)線方程求出c，然后根據(jù)雙曲線的漸近線和點的關(guān)系，求出a，b即可得到結(jié)論．

解答 解：拋物線y²=20x的準(zhǔn)線方程為x=-5，
∵雙曲線的一個焦點在拋物線y²=20x的準(zhǔn)線，
∴c=5，
雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
∵雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1的一條漸近線過點（4，3），
∴（4，3）在直線y=$\frac{a}$x上，
即4•$\frac{a}$=3，即4b=3a，b=$\frac{3}{4}$a，
平方得b²=$\frac{9}{16}$a²=c²-a²=25-a²，
則$\frac{25}{16}$a²=25，
則a²=16，b²=25-16=9，
即雙曲線的方程為$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$，
故答案為：$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$．

點評 本題主要考查雙曲線方程的求解，根據(jù)條件建立方程關(guān)系求出a，b的值是解決本題的關(guān)鍵．