Question

20．已知以拋物線x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為虛軸的一個(gè)端點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{8}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（b＞0），拋物線的一條與雙曲線的漸近線平行的切線在y軸上的截距為-1，則p的值為4．

Answer 1

分析 由題意得出b=$\frac{p}{2}$，根據(jù)雙曲線的漸近線方程求出切線方程得出切點(diǎn)坐標(biāo)，把切點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程即可求出p．

解答 解：拋物線的焦點(diǎn)為F（0，$\frac{p}{2}$），∴b=$\frac{p}{2}$．
雙曲線的一條漸近線方程為y=$\frac{2\sqrt{2}}$x=$\frac{\sqrt{2}p}{8}$x．
∴拋物線的切線方程為y=$\frac{\sqrt{2}p}{8}x$-1．
由x²=2py得y=$\frac{{x}^{2}}{2p}$，∴y′=$\frac{x}{p}$．
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），則$\frac{{x}_{0}}{p}$=$\frac{\sqrt{2}p}{8}$，解得x₀=$\frac{\sqrt{2}{p}^{2}}{8}$，y₀=$\frac{{p}^{3}}{64}$．
∴$\frac{{p}^{3}}{64}$=$\frac{\sqrt{2}p}{8}$×$\frac{\sqrt{2}{p}^{2}}{8}$-1，解得p=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評 本題考查了圓錐曲線的性質(zhì)，切線的意義及求法，屬于中檔題．