Question

11．點P在正方形ABCD內，滿足AP=2BP，CP=3BP，求∠APB的度數．

Answer 1

分析 先畫出圖象設BP=1，則AP=2，CP=3，將△ABP繞B按順時針旋轉$\frac{π}{2}$到△CBE，判斷邊角關系以及求出PE和∠PEB，在△PEC中由余弦定理求出cos∠PEC，利用反三角函數表示出∠PEC，由角相等求出∠APB．

解答 解：如圖所示：由題意設BP=1，則AP=2，CP=3，
將△ABP繞B按順時針旋轉90°到△CBE，
∴BP=BE=1，∠APB=∠BEC，且∠PBE=90°，CE=AP=2，
則PE=$\sqrt{2}$，∠PEB=45°，
在△PEC中，由余弦定理得，
cos∠PEC=$\frac{P{E}^{2}+E{C}^{2}-P{C}^{2}}{2PE•EC}$=$\frac{2+4-9}{2×\sqrt{2}×2}$=$-\frac{3\sqrt{2}}{8}$，
∴∠PEC=arccos（$-\frac{3\sqrt{2}}{8}$）
∴∠BEC=∠CEP+∠PEC=45°+arccos（$-\frac{3\sqrt{2}}{8}$），
即∠APB=45°+arccos（$-\frac{3\sqrt{2}}{8}$），

點評 本題考查余弦定理和反三角函數的應用，作輔助線是解題的關鍵，考查數形結合思想，屬于中檔題．