Question

如圖所示，射線OA、OB分別與x軸正半軸成45°和30°角，過(guò)點(diǎn)P（2，0）作直線AB分別交OA、OB于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)AB的中點(diǎn)C恰好落在直線y=

1

2

x上時(shí)，求直線AB的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求直線方程

專題：直線與圓

分析：由題意分別求出直線OA、OB的方程，由方程設(shè)出A、B的坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用C在直線y=

1

2

x上和三點(diǎn)共線：斜率相等，列出方程組求出方程的解，即可求出A的坐標(biāo)，結(jié)合P（2，0）求出直線AB的斜率，代入點(diǎn)斜式方程再化簡(jiǎn)即可得直線AB的方程．

解答： 解：由題意可得k_OA=1，kOB=-

3

3

，
所以直線OA的方程為y=x，直線OB的方程為y=-

3

3

x．
設(shè)A（m，m），B（-

3

n，n），
所以AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為(

m- 3 n

2

，

m+n

2

)，
因?yàn)辄c(diǎn)C在y=

1

2

x直線上，且A、P、B三點(diǎn)共線，
所以

m+n 2 = 1 2 • m- 3 n 2 m-0 m-2 = n-0 - 3 n-2

，解得m=2

3

，…（8分） 
所以A(2

3

，2

3

)．
又P（2，0），所以kAB=kAP=

2 3

2 3 -2

=

3+ 3

2

，
所以直線AB的方程為：y=

3+ 3

2

（x-2），即(3+

3

)x-2y-6-2

3

=0．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的有關(guān)知識(shí)：中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)斜式方程、三點(diǎn)共線：斜率相等，以及方程思想，考查計(jì)算能力．