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在平面直角坐標系xoy中,動點M到兩定點F1(0,-
3
),F2(0,
3
)的距離之和為4,設點M的軌跡是曲線C.已知直線l與曲線C交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,
m
=(2x1,y1),
n
=(2x2,y2),且m⊥n.
(1)若直線l過曲線C的焦點F(0,c) (c為半焦距),求直線l的斜率k的值;
(2)△AOB的面積是否為定值?如果是,請給予證明; 如果不是,請說明理由.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1)由橢圓定義得曲線C的方程為
y2
4
+x2=1
,設AB方程為y=kx+
3
,代入橢圓方程
y2
4
+x2=1
,得(k2+4)x2+2
3
kx-1=0,由此利用韋達定理,結合已知條件能求出直線l的斜率k的值.
(2)當A為頂點時,B必為頂點,則△AOB的面積是1;當A,B不為頂點時,設AB方程為y=kx+m與橢圓方程聯立,得(k2+4)x2+2kmx+m2-4=0,由此利用韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式能求出三角形的面積為定值1.
解答: 解:(1)∵動點M到兩定點F1(0,-
3
),F2(0,
3
)的距離之和為4,
∴由橢圓定義得動點M是以兩定點F1(0,-
3
),F2(0,
3
)為焦點的橢圓,
且橢圓的長軸長為4,
∴曲線C的方程為
y2
4
+x2=1
,
設AB方程為y=kx+
3
,代入橢圓方程
y2
4
+x2=1
,
消元可得(k2+4)x2+2
3
kx-1=0,
∵直線l與曲線C交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,
x1+x2=
-2
3
k
k2+4
,x1x2=
-1
k2+4
,
m
=(2x1,y1),
n
=(2x2,y2),且m⊥n.
∴4x1x2+y1y2=0,
∴4x1x2+(kx1+
3
)(kx2+
3
)=0,
∴(4+k2)x1x2+
3
k(x1+x2)
+3=0,
(4+k2)•
-1
k2+4
+
3
-2
3
k
k2+4
+3=0
解得k=±
2
,即直線l的斜率k的值為±
2

(2)當A為頂點時,B必為頂點,則△AOB的面積是1;
當A,B不為頂點時,
設AB方程為y=kx+m與橢圓方程聯立,
消元可得(k2+4)x2+2kmx+m2-4=0
x1+x2=
-2mk
k2+4
,x1x2=
m2-4
k2+4

m
=(2x1,y1),
n
=(2x2,y2),且m⊥n.
∴4x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,
∴2m2-k2=4,
∴△AOB的面積是
1
2
|m|•|x1-x2|=
|m|
4k2-4m2+16
k2+4
=
4m2
2|m|
=1.
∴三角形的面積為定值1.
點評:本題考查直線的斜率的求法,考查三角形的面積是否為定值的判斷與求法,解題時要認真審題,注意韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式的合理運用.
練習冊系列答案
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1
2
,則點M的軌跡所包含的圖形面積等于( 。
A、9πB、8πC、4πD、π

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π
3
),x∈[0,π],則f(x)的值域為( 。
A、[-
3
,
3
]
B、[-
3
2
,
3
]
C、[
3
2
,
3
]
D、[-2,2]

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1
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a
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a
=m
b
+n
c
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a
+k
c
)∥(2
b
-
a
),求實數k;
(3)若
d
滿足(
d
-
c
)∥(
a
+
b
),且|
d
-
c
|=
5
,求
d

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1
2
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an
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2
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πx
3
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πx
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πx
3
+sin
πx
5
)(x∈R)
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