Question

18．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂是圓心在極軸上且經(jīng)過極點(diǎn)的圓，射線θ=$\frac{π}{3}$與曲線C₂交于點(diǎn)D（4，$\frac{π}{3}$）．
（1）求曲線C₁的普通方程及C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）在極坐標(biāo)系中，A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）是曲線C₁的兩點(diǎn)，求$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）消去參數(shù)，可得曲線C₁的普通方程，利用曲線C₂是圓心在極軸上且經(jīng)過極點(diǎn)的圓，射線θ=$\frac{π}{3}$與曲線C₂交于點(diǎn)D（4，$\frac{π}{3}$），可得曲線C₂的普通方程；
（2）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{4}{4co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}$，代入，可得$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$的值．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），普通方程為${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
曲線C₂是圓心在極軸上且經(jīng)過極點(diǎn)的圓，射線θ=$\frac{π}{3}$與曲線C₂交于點(diǎn)D（4，$\frac{π}{3}$），
曲線C₂的普通方程為（x-4）²+y²=16-----------（4分）
（2）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為${ρ}^{2}co{s}^{2}θ+\frac{{ρ}^{2}si{n}^{2}θ}{4}$=1，∴ρ²=$\frac{4}{4co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}$，
所以$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$=$\frac{4si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}{4}+\frac{4co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}{4}$=$\frac{5}{4}$-----------------------（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程與普通方程、極坐標(biāo)方程的互化，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．