Question

5．函數(shù)y=$\sqrt{x}$+$\sqrt{3-3x}$的值域為（　�。�

• A． [0，3]
• B． [1，2]
• C． [0，$\sqrt{3}$]
• D． [$\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}$，$\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$]

Answer 1

分析 設(shè)x=cos²α（0≤α≤$\frac{π}{2}$），則y=cosα+$\sqrt{3}$sinα=2sin（α+$\frac{π}{6}$），利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得函數(shù)y=$\sqrt{x}$+$\sqrt{3-3x}$的值域．

解答 解：設(shè)x=cos²α（0≤α≤$\frac{π}{2}$），則y=cosα+$\sqrt{3}$sinα=2sin（α+$\frac{π}{6}$），
∵0≤α≤$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{6}$≤α+$\frac{π}{6}$≤$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$≤sin（α+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴1≤2sin（α+$\frac{π}{6}$）≤2，
∴函數(shù)y=$\sqrt{x}$+$\sqrt{3-3x}$的值域為[1，2]．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)y=$\sqrt{x}$+$\sqrt{3-3x}$的值域，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正確換元是關(guān)鍵．