Question

2．已知圓C：x²+y²-2x-2y+1=0，直線l：3x+4y-17=0．若在直線l上任取一點M作圓C的切線MA，MB，切點分別為A，B，則AB的長度取最小值時直線AB的方程為6x-8y-19=0．

Answer 1

分析 當AB的長度最小時，圓心角∠ACB 最小，設為2$\theta$，當$\theta$ 最小時，$cos\theta$ 最大，即CM 最小，由此能求出直線AB的方程．

解答 解：當AB的長度最小時，圓心角∠ACB 最小，設為2$\theta$
則由$cosθ=\frac{AC}{CM}=\frac{1}{CM}$，
知當$\theta$ 最小時，$cos\theta$ 最大，即CM 最小，那么CM⊥l，
∴${k_{AB}}={k_l}=-\frac{3}{4}$，
設直線AB的方程為3x+4y=m．
又由CM=2，知點C 到直線AB的距離為$\frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{2}=\frac{{|{3+4-m}|}}{5}$，解得$m=\frac{19}{2}$ 或m=$\frac{9}{2}$；
經檢驗$m=\frac{19}{2}$，則直線AB的方程為6x+8y-19=0．
故答案為：6x+8y-19=0．

點評 本題考查直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質、三角函數知識的合理運用．