Question

如圖，⊙O₁與⊙O₂相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段BA延長(zhǎng)線(xiàn)上，T是⊙O₁上一點(diǎn)，PT⊥O₂T，過(guò)P的直線(xiàn)交⊙O₁于C，D兩點(diǎn)
（1）求證：

PT

PC

=

PD

PT

（2）若⊙O₁與⊙O₂的半徑分別為4，3，其圓心距O₁O₂=5，PT=

24 2

5

，求PA的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段

專(zhuān)題：選作題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用切割線(xiàn)定理，即可證明；
（2）證明∠O₁AO₂=90°，再利用切割線(xiàn)定理，即可求解．

解答： （1）證明：∵PT⊥O₂T，
∴PT是⊙O₂的切線(xiàn)，
∴PT²=PA•PB，
∵過(guò)P的直線(xiàn)交⊙O₁于C，D兩點(diǎn)
∴PC•PD=PA•PB，
∴PT²=PC•PD，
∴

PT

PC

=

PD

PT

；
（2）解：連接O₁A，O₂A，
∵⊙O₁與⊙O₂的半徑分別為4，3，其圓心距O₁O₂=5，
∴O₁O₂²=O₁A²+O₂A²，
∴∠O₁AO₂=90°，
設(shè)Rt△O₁AO₂斜邊長(zhǎng)為h，則h=

3×4

5

=

12

5

，AB=2h=

24

5

，
∵PT²=PA•PB，PT=

24 2

5

，
∴PA（PA+

24

5

）=（

24 2

5

）²，
∴PA=

24

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查切割線(xiàn)定理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用切割線(xiàn)定理是關(guān)鍵．