Question

4．設(shè)拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)為P，過點(diǎn)F作直線與拋物線C交于點(diǎn)A，B，若AB⊥PB，則|AF|-|BF|=（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 設(shè)出直線方程，并與拋物線方程聯(lián)立，借助于求出點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)，利用拋物線的定義，即可求出|AF|-|BF|．

解答 解：y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），
假設(shè)k存在，設(shè)AB方程為：y=k（x-1），
與拋物線y²=4x，聯(lián)立得k²（x²-2x+1）=4x，即k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設(shè)兩交點(diǎn)為A（x₂，y₂），B（x₁，y₁），
∵∠PBF=90°，
∴（x₁-1）（x₁+1）+y₁²=0，
∴x₁²+y₁²=1，
∴x₁²+4x₁-1=0（x₁＞0），
∴x₁=-2+$\sqrt{5}$，
∵x₁x₂=1，∴x₂=2+$\sqrt{5}$，
∴|AF|-|BF|=（x₂+1）-（x₁+1）=4，
故答案選：B．

點(diǎn)評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．