Question

已知函數(shù)f（x）=x²lnx-a（x²-1），a∈R．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求曲線f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求曲線f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）利用不等式恒成立，利用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的最值即可．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=x²lnx+x²-1，則f（1）=0，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2xlnx+3x，
則f′（1）=3，
則曲線f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=3（x-1）=3x-3；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，由f（x）≥0得x²lnx-a（x²-1）≥0，
當(dāng)x=1時(shí)，不等式成立，
當(dāng)x≠1時(shí)，得a≤

x2lnx

x2-1

，x≥1，
設(shè)g（x）=

x2lnx

x2-1

，x≥1，
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=

x(x2-2lnx-1)

(x2-1)2

，
問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求函數(shù)g（x）=（x^2lnx）/（x^2-1）的最小值；
令h（x）=x（x²-1-2lnx），
則h'（x）=3x²-2lnx-3，
h''（x）=6x-

2

x

，
∵x＞1，∴h′′（x）＞0
即h'（x）為增函數(shù)
則h'（x）＞h'（1）=0
h（x）為增函數(shù)，
則h（x）＞h（1）=0
即g'（x）＞0即g（x）為增函數(shù)，
∵

lim

x→1

x2lnx

x2-1

=

1

2

（用洛必達(dá)法則），
則a≤

1

2

綜上所述：a∈（-∞，

1

2

]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．