Question

一根水平放置的長(zhǎng)方體形枕木的安全負(fù)荷與它的寬度a成正比，與它的厚度d的平方成正比，與它的長(zhǎng)度l的平方成反比．
（1）將此枕木翻轉(zhuǎn)90°（即寬度變?yōu)楹穸龋�，枕木的安全�?fù)荷如何變化？為什么？（設(shè)翻轉(zhuǎn)前后枕木的安全負(fù)荷分別為y₁，y₂且翻轉(zhuǎn)前后的比例系數(shù)相同，都為同一正常數(shù)k）
（2）現(xiàn)有一根橫斷面為半圓（已知半圓的半徑為R）的木材，用它來截取成長(zhǎng)方體形的枕木，其長(zhǎng)度為10，問截取枕木的厚度為d為多少時(shí)，可使安全負(fù)荷y最大？

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）安全負(fù)荷y₁=k

ad2

l2

（k為正常數(shù)），翻轉(zhuǎn)90°后y₂=k

da2

l2

，從而得

y1

y2

=

d

a

，從而討論變化；
（2）如圖，設(shè)截取的寬為a，厚度為d，則（

a

2

）²+d²=R²，即a²+4d²=4R²．從而得到y(tǒng)=

kad2

100

=

k

100

a（R²-（

a

2

）²）=

k

400

（4R²a-a³），（a∈（0，2R），k＞0）；再求導(dǎo)y′=-

k

400

（3a²-4R²）；確定函數(shù)的單調(diào)性與最值．

解答： 解：（1）安全負(fù)荷y₁=k

ad2

l2

（k為正常數(shù)），翻轉(zhuǎn)90°后y₂=k

da2

l2

，
∴

y1

y2

=

d

a

，
∴當(dāng)0＜d＜a時(shí)，y₁＜y₂，安全負(fù)荷變大．
當(dāng)0＜a＜d時(shí)，y₂＜y₁，安全負(fù)荷變小；
當(dāng)a=d時(shí)，y₂=y₁，安全負(fù)荷不變．
（2）如圖，設(shè)截取的寬為a，厚度為d，則（

a

2

）²+d²=R²，
即a²+4d²=4R²．
y=

kad2

100

=

k

100

a（R²-（

a

2

）²）=

k

400

（4R²a-a³），（a∈（0，2R），k＞0）；
y′=-

k

400

（3a²-4R²）；
令y′=0得：a=

2 3

3

R；
當(dāng)a∈（0，

2 3

3

R）時(shí)，y′＞0，函數(shù)y在（0，

2 3

3

R）上為增函數(shù)；
當(dāng)a∈（

2 3

3

R，2R）時(shí)，y′＜0函數(shù)y在（

2 3

3

R，2R）上為減函數(shù)；
當(dāng) a=

2 3

3

R時(shí)，安全負(fù)荷y最大，
此時(shí)厚度d=

6

3

R；
答：當(dāng)問截取枕木的厚度為

6

3

R時(shí)，可使安全負(fù)荷最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．