【題目】已知數(shù)列{an}的首項為1,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N* .
(1)若2a2 , a3 , a2+2成等差數(shù)列,求an的通項公式;
(2)設(shè)雙曲線x2﹣ =1的離心率為en , 且e2= ,證明:e1+e2++en> .
【答案】
(1)
解:∵Sn+1=qSn+1 ①,∴當n≥2時,Sn=qSn﹣1+1 ②,兩式相加你可得an+1=qan,
即從第二項開始,數(shù)列{an}為等比數(shù)列,公比為q.
當n=1時,∵數(shù)列{an}的首項為1,∴a1+a2=S2=qa1+1,∴a2=q=a1q,
∴數(shù)列{an}為等比數(shù)列,公比為q.
∵2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列,
∴2q+q+2=2q2,求得q=2,或 q=﹣ .
根據(jù)q>0,故取q=2,∴an=2n﹣1,n∈N*
(2)
證明:設(shè)雙曲線x2﹣ =1的離心率為en,
∴en= = .
由于數(shù)列{an}為首項等于1、公比為q的等比數(shù)列,
∴e2= = = ,q= ,
∴an= ,∴en= = > = .
∴e1+e2++en>1+ + +…+ = = ,原不等式得證
【解析】(1)由條件利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì),求得數(shù)列{an}為首項等于1、公比為q的等比數(shù)列,再根據(jù)2a2 , a3 , a2+2成等差數(shù)列求得公比q的值,可得{an}的通項公式.
(2)利用雙曲線的定義和簡單性質(zhì)求得en= ,根據(jù)e2= = ,求得q的值,可得{aspan>n}的解析式,再利用放縮法可得∴en= > ,從而證得不等式成立.
本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義和性質(zhì),用放縮法進行數(shù)列求和,數(shù)曲線的簡單性質(zhì),屬于難題.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用數(shù)列的前n項和的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=a(x﹣lnx)+ ,a∈R.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)當a=1時,證明f(x)>f′(x)+ 對于任意的x∈[1,2]成立.
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【題目】. (12分)如圖所示,函數(shù)的一段圖象過點.
(1)求函數(shù)的表達式;
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位,得函數(shù)的圖象,求函數(shù)的最大值,并求此時自變量的取值集合.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(a>0,β為參數(shù)).以O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為ρcos =.
(1)若曲線C與l只有一個公共點,求a的值;
(2)A,B為曲線C上的兩點,且∠AOB=,求△OAB面積的最大值.
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【題目】在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρcos θ=4.
(1)M為曲線C1上的動點,點P在線段OM上,且滿足|OM|·|OP|=16,求點P的軌跡C2的直角坐標方程;
(2)設(shè)點A的極坐標為,點B在曲線C2上,求△OAB面積的最大值.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2﹣a﹣lnx,其中a∈R.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)確定a的所有可能取值,使得f(x)> ﹣e1﹣x在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)).
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【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,若實數(shù)a滿足f(log2a)+f( a)≤2f(1),則a的取值范圍是( )
A.
B.[1,2]
C.
D.(0,2]
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2x﹣ .
(1)若f(x)=2,求x的值;
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0對于t∈[1,2]恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】下表是高三某位文科生連續(xù)5次月考的歷史、政治的成績,結(jié)果統(tǒng)計如下:
月份 | 9 | 10 | 11 | 12 | 1 |
歷史(x分) | 79 | 81 | 83 | 85 | 87 |
政治(y分) | 77 | 79 | 79 | 82 | 83 |
(1)求該生5次月考歷史成績的平均分和政治成績的方差
(2)一般來說,學生的歷史成績與政治成績有較強的線性相關(guān),根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求兩個變量x、y的線性回歸方程 = x+
(附: = = , =y﹣ x)
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